Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Vorlesung C/Referenzsuche

In dieser Vorlesung besprechen wir Restklassenbildung. Dies ist ein wichtiger Spezialfall der Bildung einer Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation. Ein zusätzlicher Aspekt ist, dass man auf diesen Quotientenmengen Verknüpfungen hat, die sich von der Startmenge her vererben. Unmittelbare Anwendungen sind ein besseres Verständnis der Division mit Rest der ganzen Zahlen, insbesondere der algebraischen Struktur der Reste, und später die Konstruktion der reellen Zahlen aus dem Ring der rationalen Cauchy-Folgen.

Um die folgenden Aussagen prägnanter formulieren zu können, brauchen wir eigene Begriffe für strukturerhaltende Abbildungen, das sind Abbildungen, die mit den gegebenen Verknüpfungen verträglich sind.

Definition

Seien

Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus wenn die Gleichheit

für alle

gilt.

Beispielsweise ist eine lineare Abbildung insbesondere ein Gruppenhomomorphismus.

Definition

Es seien

Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus wenn folgende Eigenschaften gelten:

Bei der folgenden Konstruktion denke man an die Gruppe zusammen mit der Untergruppe aller Vielfachen zu einer fixierten Zahl also an die Situation

oder an die Situation eines Untervektorraumes

siehe Aufgabe 38.15.

Definition

Es sei eine kommutative Gruppe und

eine Untergruppe. Für Elemente

setzen wir

(und sagen, dass und äquivalent sind), wenn

In dem eingangs erwähnten Beispiel sind zwei ganze Zahlen äquivalent, wenn ihre Differenz ein Vielfaches von ist. Diese Äquivalenzrelation wurde schon in Beispiel 38.14 betrachtet. Wir sichern zuerst, dass wirklich in voller Allgemeinheit eine Äquivalenzrelation vorliegt.

Lemma

Es sei eine kommutative Gruppe,

eine Untergruppe und die durch auf definierte Relation.

Dann liegt eine Äquivalenzrelation vor, und die Äquivalenzklasse zu ist gerade

Beweis

Wegen

ist die Relation reflexiv. Mit

ist auch

da Untergruppen unter dem Negativen abgeschlossen sind, was die Symmetrie der Relation bedeutet. Mit

und

also

ist auch

da Untergruppen unter der Addition abgeschlossen sind, und somit ist auch

Damit ist die Relation auch transitiv. Die Äquivalenz von mit bedeutet

so dass die letzte Aussage auch klar ist.

$\Box$

Die Äquivalenzklassen heißen in dieser Situation auch die der Relation. Sie haben die Gestalt

sie bestehen also aus allen Elementen, die man von aus durch Addition mit einem Element aus erreichen kann. Man kann sich dabei als einen mehr oder weniger restriktiven Vorrat an Sprungmöglichkeiten oder Bewegungsmöglichkeiten vorstellen, und die Äquivalenz zwischen

bedeutet, dass man von nach mit einem erlaubten Sprung gelangen kann.

Satz

Es sei eine kommutative Gruppe,

eine Untergruppe und die Quotientenmenge zur durch definierten Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beweis

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

gegeben sein, was bereits die Eindeutigkeit sichert. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass

ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=x+h$ und $y'=y+h'$ mit

schreiben. Damit ist

und somit ist

Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf und der Surjektivität der kanonischen Projektion folgen die Gruppeneigenschaften und die Homomorphieeigenschaft der Projektion.

$\Box$

Definition

Es sei eine kommutative Gruppe und

eine Untergruppe. Die Quotientenmenge

mit der aufgrund von Satz 41.5 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo Die Elemente

heißen Restklassen Für eine Restklasse heißt jedes Element

ein Repräsentant von

Beispiel

Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Satz 20.4 von der Form

Die Restklassengruppen werden mit

bezeichnet (sprich). Bei

ist das einfach selbst, bei

ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe definierte Äquivalenzrelation auf dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen

genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz zu gehört, also ein Vielfaches von ist. Daher ist (bei) jede ganze Zahl zu genau einer der Zahlen

äquivalent (oder, wie man auch sagt,), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit bezeichnet. Dabei ist das neutrale Element, das negative Element zu ist und die Summe ist bzw. falls

ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung

ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt.

Definition

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes

heißt Ideal wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

2. Für alle ist auch
3. Für alle und ist auch

Eine Ideal ist insbesondere eine Untergruppe der kommutativen Gruppe Bei

ist jede Untergruppe bereits ein Ideal. Die Restklassengruppe ist in kanonischer Weise nach Satz 41.5 eine kommutative Gruppe und die kanonische Abbildung

ist mit der Addition verträglich. Wir werden sehen, dass man in zusätzlich eine Multiplikation und ein Einselement definieren kann derart, dass zu einem kommutativen Ring wird und dass die kanonische Abbildung auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist.

Die Nebenklassen sind gerade die Nebenklassen zur Untergruppe

Zwei Elemente

definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also

wenn ihre Differenz zum Ideal gehört.

Lemma

Es sei ein kommutativer Ring,

ein Ideal und die Quotientenmenge zur durch definierten Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf derart, dass ein Ringhomomorphismus ist.

Beweis

Nach Satz 41.5 gibt es nur eine Gruppenstruktur auf derart, dass die kanonische Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der Addition ist, ist dies die einzige additive Struktur, die in Frage kommt.

Da die kanonische Abbildung die Multiplikation respektieren soll, kommt nur als neutrales Element der Multiplikation und

als Multiplikation in Frage. Wir müssen zeigen, dass diese Multiplikation wohldefiniert ist. Es seien zwei Restklassen mit unterschiedlichen Repräsentanten gegeben, also

Dann ist

bzw.

mit

Daraus ergibt sich

Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, so dass die Differenz

ist.

Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt.

$\Box$

Die kanonische Projektion nennt man wieder die oder den Das Bild von

in wird mit häufig aber auch mit oder einfach mit selbst bezeichnet und heißt die von Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal.

Wir werden später die reellen Zahlen als den Restklassenring zum Ring aller rationalen Cauchy-Folgen modulo dem Ideal, das aus allen Nullfolgen besteht, erhalten. Zunächst sind die Restklassenringe zum Ring und zu den Idealen die wichtigsten Beispiele. Die praktische Bedeutung von Lemma 41.9 liegt darin, dass man mit Resten nahezu gedankenlos rechnen darf, wenn man sich für das Restergebnis interessiert. Es ist egal, wann und wie oft man Zahlen durch ihre Reste oder durch andere Zahlen mit dem gleichen Rest ersetzt. In Aufgabe 14.7 und Aufgabe 14.10 hatten wir dies teilweise schon direkt nachgewiesen.

Durch die Konstruktion erhalten wir für jede natürliche Zahl

einen kommutativen Ring mit Elementen. Der folgende Satz charakterisiert, wann es sich um einen Körper handelt.

Satz

Es sei

Der Restklassenring

ist genau dann ein 

Körper,

wenn eine Primzahl ist.

Beweis

Bei

ist der Restklassenring gleich selbst und kein Körper. Bei

besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist

Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ist keine Primzahl. Sei also von nun an

Wenn keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung

mit kleineren Zahlen

Im Restklassenring bedeutet dies, dass die Restklassen

nicht sind, dass aber ihr Produkt

ist. Das kann nach Lemma 23.11 in einem Körper nicht sein.

Sei nun eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von verschiedene Restklasse , ein inverses Element besitzt. Da prim ist, sind

teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen mit

Dies führt im Restklassenring zur Identität

die besagt, dass

invers zueinander sind.

$\Box$

Der Beweis zeigt auch, wie man zu einem Element zwischen und der Primzahl das Inverse in findet. Man muss mit Hilfe des euklidischen Algorithmus in eine Darstellung der finden. Aus

lässt sich dann ablesen, dass die Restklasse von das inverse Element zu ist.

Beispiel

Der Restklassenkörper

hat die folgenden Verknüpfungstabellen:

Eine wichtige Intuition, die sich mit den Punkten auf (der positiven Hälfte davon) dem Zahlenstrahl und mit positiven reellen Zahlen verbindet, ist, dass sie alle möglichen Längen repräsentieren. Wenn man eine bestimmte Länge als Einheitslänge fixiert (also eine auf dem Zahlenstrahl), so kann man jede natürliche Zahl durch das entsprechende Vielfache dieser Einheitsstrecke auf dem Strahl finden. Dies lässt sich durch mehrfaches Abtragen der Strecke realisieren. Auch eine rationale Zahl repräsentiert eine sinnvolle Länge, der Bruch repräsentiert diejenige Strecke, die die ganzzahlige Strecke in gleichlange Teile unterteilt. Diese Unterteilungspunkte kann man sich gut vorstellen, und sie lassen sich geometrisch unter Bezug auf die Strahlensätze auch konstruieren, wie zu Beginn der Vorlesung ausgeführt und auch in der Konstruktion der rationalen Zahlen dargestellt wurde.

Wir beschäftigen uns hier mit der Frage, ob es über die rationalen Zahlen hinaus sinnvolle Streckenlängen gibt. Gemäß Satz 28.7 kann man jedes Element eines archimedisch angeordneten Körpers (und damit die Punkte der Zahlengeraden) durch Dezimalbrüche (also insbesondere durch rationale Zahlen) beliebig gut approximieren. Wenn man also nur an so was wie der Messgenauigkeit für beliebige Streckenlängen interessiert ist, braucht man die folgenden Überlegungen nicht. Es wird sich aber herausstellen, dass sehr prägnante Streckenlängen nicht durch rationale Zahlen exakt erfasst werden können, sondern dass man dazu neue Zahlen braucht. Die rationalen Zahlen sind also in einem zu präzisierenden Sinn

Bemerkung  

Aus der elementaren Geometrie der Ebene ist der Satz des Pythagoras bekannt, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenusenlänge und den Kathetenlängen

die Gleichheit

gilt. Die Flächeninhalte der Quadrate zu den Katheten ergänzen sich also zum Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates. Ein besonders bekanntes rechtwinkliges Dreieck ist das mit den ganzzahligen Seitenlängen Man kann beliebige Seitenlängen vorgeben und diese miteinander rechtwinklig anordnen und erhält durch Verbindung der beiden anderen Enden ein rechtwinkliges Dreieck. Aufgrund des Satzes des Pythagoras ist dann die Länge der Hypotenuse (nicht nur geometrisch, sondern auch) rechnerisch festgelegt. Die Hypotenusenlänge sollte also, wenn

sinnvolle Streckenlängen sind, auch eine sinnvolle, mathematisch erfassbare Streckenlänge sein. Dies muss insbesondere für ganzzahlige gelten, für die Summe von zwei Quadratzahlen sollte es also stets eine Zahl geben, deren Quadrat gleich dieser Summe ist.

Beispiel

Wir betrachten ein Quadrat mit Seitenlänge Die Diagonale darin kann man als Hypotenuse des in dem Quadrat zweifach liegenden rechtwinkligen Dreiecks auffassen. Nach dem Satz des Pythagoras hat die Länge der Diagonalen die Eigenschaft, dass ihr Quadrat davon gleich

ist. Inwiefern gibt es eine Zahl mit

Dies ist keine einfache Frage. Was man ziemlich schnell begründen kann, ist, dass es innerhalb der rationalen Zahlen eine solche Zahl nicht geben kann! Wenn wir nämlich annehmen, dass die rationale Zahl

die Eigenschaft

besitzt, so kann man zunächst annehmen, dass die Darstellung gekürzt ist, also

keinen gemeinsamen Teiler haben. Durch Multiplikation mit erhält man innerhalb der natürlichen Zahlen die Gleichung

Nennen wir diese Zahl Aufgrund der rechten Seite sieht man, dass diese Zahl gerade ist. Dann muss auch gerade sein, da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist. Wir können also

schreiben und aus der Gleichung

einmal die kürzen, was

ergibt. Mit dem Argument von eben erhält man, dass auch gerade ist, im Widerspruch zur gekürzten Darstellung.

Wir führen die folgende Sprechweise ein, die wir hauptsächlich für Körper anwenden werden.

Definition

In einem kommutativen Halbring

nennt man zu

und einem Element

ein Element

mit

eine te Wurzel von

Im Allgemeinen gibt es keine Wurzeln, und wenn es welche gibt, so sind sie nicht eindeutig bestimmt. Im Kontext von Strecken und unter den positiven reellen Zahlen gibt es, wie wir später sehen werden, eindeutig bestimmte te Wurzeln. Sie werden mit bezeichnet, wobei wir diese Bezeichnung gelegentlich schon verwenden werden. Eine weitere Bezeichnungsweise ist Bei

spricht man von in diesem Fall schreibt man

Wenn man sich auf die positive Hälfte eines angeordneten Körpers beschränkt, so gibt es maximal eine Wurzel. Im Falle der Existenz bezieht sich die Bezeichnung

auf dieses eindeutig bestimmte Element.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und es sei

Ferner sei

Dann gibt es höchstens ein

mit

Beweis

Dies folgt aus Lemma 25.18  (1). Wenn

ist, so ist auch

und somit können nicht beide gleich sein.

$\Box$

Verschiedene Wurzeln aus verschiedenen Elementen in einem angeordneten Körper kann man häufig einfach vergleichen, indem man zu einer geeigneten Potenz übergeht und Lemma 25.18 heranzieht. Beispielsweise ist

da

ist.

Eine weitgehende Verallgemeinerung der obigen Beobachtung, dass keine rationale Zahl ist, kommt im folgenden Satz zum Ausdruck.

Satz

Es sei

die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl Es sei eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ein Vielfaches von sind. Dann gibt es keine rationale Zahl mit der Eigenschaft

d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt keine te Wurzel.

Beweis

Nehmen wir an, dass die rationale Zahl

die Eigenschaft

besitzt. Wir multiplizieren mit und erhalten in die Gleichung

Wegen Satz 21.4 besitzt diese Zahl, nennen wir sie eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der Exponent davon zu jeder Primzahl eindeutig bestimmt. Es sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der Exponent von kein Vielfaches von ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der Exponent von kein Vielfaches von von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.

$\Box$

Diese Aussage bedeutet, dass eine natürliche Zahl innerhalb der rationalen Zahlen nur dann eine Wurzel besitzt, wenn sie schon innerhalb der natürlichen Zahlen eine Wurzel besitzt. Insbesondere sind Quadratwurzeln aus Primzahlen nie rational.

Bemerkung  

Die Quadratwurzel aus tritt als Länge der Diagonalen in einem Quadrat mit Seitenlänge auf und ist von daher sicher eine sinnvolle Streckenlänge. Wie sieht es mit den anderen Quadratwurzeln zu natürlichen Zahlen aus? Wenn man die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge betrachtet, so besitzt die Diagonale die Seitenlänge Diese Zahl entsteht also durch eine einfache arithmetische Operation aus den bekannten natürlichen Zahlen und der Wenn man Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen betrachtet, so erhält man als Diagonallängen beispielsweise (Seitenlängen und),

(Seitenlängen und),

(Seitenlängen und), u.s.w. Man kann aber durch eine einfach geometrische Konstruktion induktiv zeigen, dass jede Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl als Strecke auftritt. Dazu startet man mit der Strecke und macht daraus die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Seitenlänge besitzt. Die Hypotenuse dieses Dreiecks hat dann die Länge

So kann man aus jedem auch die Länge erhalten. Diese Prozedur wird in der veranschaulicht.

Beispiel

Es sei eine Strecke mit den Endpunkten

gegeben. Ein Punkt auf der Strecke unterteilt die Strecke in zwei Teilstrecken. Wir suchen einen Punkt der die Eigenschaft besitzt, dass das Verhältnis der großen Teilstrecke zur kleinen Teilstrecke mit dem Verhältnis der Gesamtstrecke zur großen Teilstrecke übereinstimmt. Diese Eigenschaft definiert den sogenannten Wenn man mit der Einheitsstrecke von

auf der Zahlengeraden arbeitet, so geht es um die Bedingung

Diese Bedingung kann man zu

bzw.

umwandeln. Eine weitere Umformung führt auf

bzw.

also

Da irrational ist, ist auch die Zahl des Goldenen Schnitts irrational. Der Kehrwert dieser Zahl, also das Verhältnis von großer Strecke zu kleiner Strecke, ist übrigens

Es liegt also die Besonderheit vor, dass die Nachkommaziffern von

übereinstimmen.

Bemerkung  

Die Beobachtung, dass eine Gleichung der Form

mit

innerhalb der rationalen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung besitzt, und dass man daher nach einer Erweiterung der Zahlen suchen sollte, in dem es eine Lösung gibt, sollte man in Analogie zu den Gleichungen sehen, die vorhergehende Zahlenbereichserweiterungen motiviert haben. Die Gleichungen der Form

die innerhalb der natürlichen Zahlen formulierbar, aber nicht lösbar sind, führten zur Zahlenbereichserweiterung von nach und die Gleichungen der Form

die innerhalb der ganzen Zahlen formulierbar, aber nicht lösbar sind, führten zur Zahlenbereichserweiterung von nach

Beispiel

Ein Kreis mit der Einheitsstrecke als Durchmesser (oder als Radius) hat einen bestimmten Ist dieser Umfang eine sinnvolle Streckenlänge? Einerseits ist der Kreisbogen gekrümmt und nicht gerade, wie das Strecken sind, von daher ist es keineswegs selbstverständlich, dass der Umfang eine sinnvolle Streckenlänge sein soll. Andererseits ist aber die Vorstellung naheliegend, dass man den Kreis an einer Geraden (wie der Zahlengeraden) abrollen kann und dabei schauen kann, wohin man nach genau einer vollen Umdrehung gelangt. Die dadurch auf der Zahlengeraden markierte Zahl, also die Kreisbogenlänge, nennt man (wenn man die Einheitsstrecke als Radius nimmt, erhält man beim Abrollen). Dies ist eine sowohl von ihrer mathematischen Natur her als auch von der numerischen Berechnung her schwierige Zahl. Zum Beispiel ist es nicht einfach zu zeigen, dass diese Zahl nicht rational ist.

Die Irrationalität von wurde im Laufe des achtzehnten Jahrhunderts gezeigt, ebenso die Irrationalität der Zahl Es ist bis heute unbekannt, ob die Summe irrational ist.

Beispiel

Wir betrachten die also den Graphen der Funktion

wobei ein archimedisch angeordneter Körper ist. Kann man dem Ausschnitt des Graphen, der sich oberhalb des Einheitsintervalles von

erstreckt, eine sinnvolle Länge zuordnen? Wenn ja, gehört diese Zahl zu den rationalen Zahlen?

Bemerkung  

Nach Satz 28.7 führt jedes Element

in einem archimedisch angeordneten Körper zu einer Dezimalbruchfolge, für die die Abschätzung

gilt und die nach Korollar 28.10 gegen konvergiert. Grundsätzlich kann man sich zu einer jeden Dezimalbruchfolge, also einer Folge aus Dezimalbrüchen

mit

und mit der Eigenschaft

fragen, ob es dazu einen Punkt in dem Körper gibt, gegen den die Folge konvergiert. Dies ist keineswegs immer der Fall, für die rationalen Zahlen gilt es nicht, und zwar werden wir später in Satz 47.7 sehen, dass genau die periodischen Dezimalbruchfolgen gegen eine rationale Zahl konvergieren. Gibt es für die nichtperiodischen Dezimalbruchfolgen eine sinnvolle Interpretation als eine Zahl? Nichtperiodische Dezimalbruchfolgen können durchaus systematisch sein, wie die (in Kommazahlschreibweise gegebenen) Dezimalbruchfolgen

oder

verdeutlichen.

Bemerkung  

Die Frage, inwiefern es über die rationalen Zahlen hinaus weitere sinnvolle Zahlen gibt, geht in die griechische Antike zurück. Die Frage wurde in der Form gestellt, ob je zwei in natürlicher Weise gegebene Strecken zueinander kommensurabel sind, ob es also eine dritte Strecke gibt, von der beide Strecken ganzzahlige Vielfache sind. Die Pythagoreer waren von der Harmonie des Universums überzeugt und das schloss ihrer Auffassung nach mit ein, dass alle Streckenverhältnisse durch ganze Zahlen ausgedrückt werden können. Solche ganzzahligen Beziehungen fanden sie in der Musik (Schwingungsverhältnisse) und vermuteten sie für die Planeten und ihre Bewegungen und für die gesamte Geometrie. Es wird darüber spekuliert, ob in den pythagoreischen Kreisen die in Beispiel 42.2 besprochene Überlegung, die die Irrationalität der begründet (die Inkommensurabilität von Seitenlänge und Diagonale in einem Quadrat), bekannt war und sogar geheimgehalten wurde. Jedenfalls setzte sich später in der Antike die Erkenntnis durch, dass es irrationale Zahlen geben muss.

Wie in Beispiel 22.7 erwähnt, sind die Schwingungsverhältnisse bei einer Tonart feste rationale Verhältnisse. Ein Klavier wird allerdings anders gestimmt, rationale Verhältnisse gelten also noch nicht einmal in der Musik.

Beispiel

In der gleichstufigen Stimmung eines Klaviers zerlegt man eine Oktave in zwölf gleichgroße Frequenzverhältnisse. Da eine Oktave das Frequenzverhältnis bedeutet, ist das Frequenzverhältnis von zwei benachbarten (weißen oder schwarzen) Tasten durch gegeben. Somit sind die Schwingungsverhältnisse zwischen den Tönen im Allgemeinen irrational. Der Vorteil bei dieser Stimmung ist, dass man jede Tonart auf dem Klavier mit unmerklichen Abweichungen von den harmonischen rationalen Verhältnissen spielen kann.

Beispiel

Wir betrachten ein Quadrat mit den Eckpunkten Eine Schnecke kriecht innerhalb des Quadrates von

und eine zweite Schnecke von

Treffen sich die beiden Schleimspuren? Diese Frage ist nicht ohne Bezug auf Zahlenbereiche zu beantworten. Wenn es sich um (stückweise) lineare Bewegungen handelt, die beispielsweise über den rationalen Zahlen definiert sind, so gibt es auch einen Schnittpunkt mit rationalen Koordinaten (vergleiche Korollar 34.8). Wenn sich dagegen die beiden Schnecken längs der Kreise mit Radius bewegen, so gibt es betrachtet einen Schnittpunkt Da dieser auf den beiden Kreisen liegt, erhalten wir die beiden Bedingungen

und

was auf

also

führt und auch von der Symmetrie der Situation her klar ist. Dies führt allerdings zu

also

und dies ist nach Satz 42.5 eine irrationale Zahl. Es gibt also innerhalb der rationalen Zahlen keinen Schnittpunkt. Innerhalb der reellen Zahlen werden wir mit dem Stetigkeitskonzept und dem Zwischenwertsatz eine Situation kennenlernen, indem es stets Schnittpunkts gibt.

Wie kann man die irrationalen Lücken auf der Zahlengeraden in sinnvoller Weise adressieren bzw. lokalisieren und letztlich schließen? Mit diesen Fragen werden wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen.

Wir betrachten die Quadratwurzel von der wir die algebraische Eigenschaft, dass ihr Quadrat gleich sein soll, und eine geometrische Realisierung schon kennen. Wir wissen auch, dass es innerhalb der rationalen Zahlen eine solche Zahl nicht gibt. Es ist im Moment nicht klar, in welcher Weise es diese Zahl gibt, zu welcher Zahlenmenge sie gehören soll und wie mit ihr zu rechnen ist. Es ist aber klar, dass sie innerhalb der rationalen Zahlen eine aufweist. In den nächsten Vorlesungen diskutieren wir Möglichkeiten, solche Lücken zu erkennen, zu erfassen, zu lokalisieren, rational zu approximieren und rechnerisch mit ihnen umzugehen. In einem weiteren Schritt werden wir sämtliche Lücken systematisch auffüllen und erhalten dadurch die reellen Zahlen, die ihrerseits lückenlos, oder, wie wir sagen werden, vollständig sind. Diesen Prozess kann man mathematisch mit einer Reihe von unterschiedlichen Konzepten durchführen, die alle letztlich zu ein und dem gleichen Körper der reellen Zahlen führen. Wir werden die folgenden Konzepte kennenlernen.

• Cauchy-Folgen.

• Wachsende, nach oben beschränkte Folgen.

• Dezimalzifferentwicklungen (Dezimalbruchfolgen).

• Intervallschachtelungen.

• Dedekindsche Schnitte.

Diese Konzepte besitzen jeweils viele Vor- und Nachteile, die wir später eingehend diskutieren werden. Als mögliche Kriterien seien aber schon mal genannt.

1. Nähe zur Intuition der Zahlengeraden.
2. Rechnerische Zugänglichkeit.
3. Einfachheit der Konstruktion der reellen Zahlen.
4. Einfachheit des Nachweises von Eigenschaften der reellen Zahlen.
5. Bedeutung über die Einführung der reellen Zahlen hinaus.
6. Mathematische Eleganz.

In dieser Vorlesung werden wir die Ideen, die diesen Konzepten zugrunde liegen, beispielhaft an Quadratwurzeln vorstellen.

Beispiel

Wir wissen nach Satz 42.5, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ist. Wir können aber für jede rationale Zahl einfach bestimmen, ob ihr Quadrat größer oder kleiner als ist, und das Ergebnis können wir dann so interpretieren, dass kleiner oder größer als die nicht vorhandene Zahl ist (wir beschränken uns im Moment auf positive rationale Zahlen). Für

ist

zu klein und für

ist

zu groß. Damit müssen wir uns über die rationalen Zahlen, die kleiner als oder aber größer als sind, keine Gedanken mehr machen. Aus

folgt aus den Anordungseigenschaften direkt

siehe Lemma 19.13  (8). Man muss also nur Rechnungen für rationale Zahlen zwischen

durchführen. Nehmen wir beispielsweise

so ist

Nehmen wir

so ist

Bei

ist

Wir wissen also, dass alle rationalen Zahlen oberhalb von (wegen

ist dies die bessere Grenze) zu groß und alle rationalen Zahlen unterhalb von zu klein sind, wir müssen also nur noch Zahlen zwischen

überprüfen. Das vermittelt eine gewisse Größenvorstellung für die es gibt aber unendlich viele Zahlen, die ebenfalls zwischen diesen beiden Zahlen liegen. Wenn wir endlich viele Zahlen dahingehend überprüft haben, ob ihr Quadrat kleiner oder größer als ist, so sind wir stets in einer vergleichbaren Situation, dass die Zahlen zwar einen Bereich eingrenzen, es aber darin unendlich viele Zahlen gibt.

Ein anderer Ansatz ist es, direkt die Mengen

und

zu betrachten. Dies ist eine Zerlegung von in zwei disjunkte Teilmengen. Dieses Paar (bzw. eine Menge davon, da sie ja die andere als ihr Komplement festlegt) ist eine exakte Beschreibung der durch in den rationalen Zahlen bedingten Lücke, der Spur, die auf den rationalen Zahlen hinterlässt. Rechnerisch wurde zwar nichts gewonnen, da man nach wie vor für jedes einzelne durch eine Rechnung überprüfen muss, ob zu oder zu gehört. Es ist aber immerhin ein mathematisches Objekt gefunden, das eindeutig beschreibt. Der Preis ist, dass dieses mathematische Objekt in der Potenzmenge der rationalen Zahlen angesiedelt und somit sehr abstrakt ist. Es handelt sich um einen sogenannten

Beispiel

Wir versuchen nun, die Zahl systematisch durch Dezimalbrüche zu approximieren. Wir wissen bereits

(eine solche Abschätzung ergibt nur Sinn in einem angeordneten Körper, in dem es ein Element gibt, die Grenzen links und rechts gehören aber jedenfalls zu). Was ist die beste Approximation mit einem Dezimalbruch mit im Nenner? Durch etwas Probieren erhält man

Entsprechend erhält man für den Nenner die beste Approximation

für den Nenner erhält man

u.s.w. Wenn man die vorhergehende beste Approximation um eine Zehnerpotenz verbessern möchte, so muss man maximal vier nächste Ziffern durchprobieren, man ergänzt die bisherige untere Ziffernfolge um eine u.s.w. Die ersten approximierenden Dezimalbrüche von unten sind

Mit dem Intervallbegriff lässt sich die zuletzt formulierte Approximation durch die Dezimalbruchfolge unter einen etwas anderen Gesichtspunkt stellen.

Beispiel

Aufgrund der Berechnungen in Beispiel 43.2 wissen wir, dass in einem angeordneten Körper, der die enthält, diese in den zunehmend kleiner werdenden Intervallen

liegt. Die Länge der Intervalle ist hier Diese Intervalle gibt es auch in und sie helfen bei der Lokalisierung von auch wenn diese Zahl gar nicht zu gehört. Der Vorteil einer solchen Intervallschachtelung gegenüber der Dezimalbruchfolge ist, dass sie den Wert von beiden Seiten her eingrenzt, während die Dezimalbruchfolge direkt nur untere approximierende Werte liefert. Wenn man beliebige konvergente Folgen betrachtet, so weiß man nur, dass grundsätzlich eine Approximation vorliegt, ohne dass man dies quantitativ ausdrücken kann. Bei einer Intervallschachtelung gibt jedes beteiligte Intervall eine direkte Eingrenzung, aus der der maximale Fehler unmittelbar abschätzbar ist.

Eine spezielle Methode ist die Dabei halbiert man das zuvor gefundene Intervall in zwei gleichlange Hälften und schaut, ob das gesuchte Element zur kleineren oder zur größeren Hälfte gehört und nimmt dann das passende Intervall als nächstes Intervall. Bei diesem Verfahren halbiert sich die Intervalllänge mit jedem Schritt. In unserem Beispiel erhält man

Die in Beispiel 43.2 angeführte Dezimalbruchfolge wirkt vertraut, weil die Dezimalziffernentwicklung vertraut ist, und weil das das ist, was der Taschenrechner ausspuckt. Es gibt aber Folgen, die weit schneller die Quadratwurzel berechnen und die auch der Taschenrechner verwendet. Das sogenannte (auch genannt) ist ein typisches Beispiel dafür, dass Dezimalbruchfolgen im Allgemeinen nicht optimal sind, und es künstlich wäre, sich auf sie zu beschränken.

Beispiel

Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl sagen wir von Eine solche Zahl mit der Eigenschaft

gibt es nicht innerhalb der rationalen Zahlen, wie aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt. Wenn

ein solches Element ist, so hat auch diese Eigenschaft. Mehr als zwei Lösungen kann es aber nach Aufgabe 42.12 nicht geben, so dass wir nur nach der positiven Lösung suchen müssen.

Obwohl es innerhalb der rationalen Zahlen keine Lösung für die Gleichung

gibt, so gibt es doch beliebig gute Approximationen innerhalb der rationalen Zahlen dafür. Beliebig gut heißt dabei, dass der Fehler (oder die Abweichung) unter jede positive Schranke gedrückt werden kann. Das klassische Verfahren, um eine Quadratwurzel beliebig gut anzunähern, ist das das man auch nennt. Dies ist ein d.h., die nächste Approximation wird aus den vorausgehenden Approximationen berechnet. Beginnen wir mit

als erster Näherung. Wegen

ist zu groß, d.h. es ist

Aus

(mit positiv) folgt zunächst

und daraus

d.h.

Man hat also die Abschätzungen

wobei links eine rationale Zahl steht, wenn rechts eine rationale Zahl steht. Eine solche Abschätzung vermittelt offenbar eine quantitative Vorstellung darüber, wo liegt. Die Differenz ist ein Maß für die Güte der Approximation.

Beim Startwert ergibt sich, dass die Quadratwurzel von zwischen

liegt. Man nimmt nun das arithmetische Mittel der beiden Intervallgrenzen, also

Wegen

ist dieser Wert wieder zu groß und daher liegt im Intervall Von diesen Intervallgrenzen nimmt man erneut das arithmetische Mittel und setzt

als nächste Approximation. So fortfahrend erhält man eine immer besser werdende rationale Approximation von

Beispiel

Wir berechnen eine approximierende Folge zu wie in Beispiel 43.4, allerdings mit dem Startwert Die ersten Folgenglieder sind

Der letzte Wert stimmt schon in acht Nachkommastellen mit dem wahren Wert überein.

Allgemein ergibt sich das folgende Heron-Verfahren.

Verfahren  

Es sei

ein positives Element in einem angeordneten Körper. Die zum positiven Startwert ist rekursiv durch

definiert.

Man berechnet also sukzessive das arithmetische Mittel aus

Das Produkt dieser beiden Zahlen ist somit ist die eine Zahl größer und die andere Zahl kleiner als Die Idee des Verfahrens liegt darin, in der Mitte dieser beiden Zahlen eine bessere Approximation zu finden. Die Folgenglieder der Heron-Folge sind offenbar stets positiv. Typischerweise startet man mit einer natürlichen Zahl als Anfangswert, die in der Größenordnung der Quadratwurzel von liegt.

Die Idee, die dem Heron-Verfahren zugrunde liegt, kann man auch so verstehen: Man möchte ein Quadrat mit dem Flächeninhalt also mit der Seitenlänge konstruieren. Man gibt sich eine approximierende Seitenlänge vor und betrachtet das Rechteck, dessen eine Seitenlänge und dessen Flächeninhalt ist. Dann muss die zweite Seitenlänge gleich sein. Wenn zu groß ist, muss zu klein sein. Für das nächste approximierende Rechteck nimmt man als eine Seitenlänge das arithmetische Mittel aus den beiden Seitenlängen des vorhergehenden Rechtecks.

Satz

Es sei ein angeordneter Körper und

Es sei ein positiver Startwert und die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für ist und
2. Die Heron-Folge ist ab dem ersten Glied fallend.
3. Es ist für
4. Für die Intervalllängen gilt die Beziehung und bei gilt insbesondere

Beweis

1. Es gilt
   Somit ist Wegen folgt nach Lemma 19.13  (8), dass ist.
2. Aufgrund von (1) ist und aufgrund des strengen Wachstums des Quadrierens im positiven Teil ist Nach Aufgabe 24.30 liegt das arithmetische Mittel stets zwischen den beiden Zahlen, also ist
3. Dies folgt aus (1) und (2).
4. Nach der Rechnung in Teil (1) ist Bei ist

$\Box$

Das eben beschriebene Verfahren liefert also zu jeder natürlichen Zahl eine Folge, die eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, so dass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz.

Wir wiederholen die Begriffe Folge und Konvergenz in einem angeordneten Körper, die wir schon in der 28. Vorlesung im Kontext des Divisionsalgorithmus erwähnt haben.

Definition

Es sei eine Menge. Eine Abbildung

nennt man auch eine Folge in Eine Folge wird häufig in der Form

geschrieben.

Eine Folge wird zumeist als oder einfach nur kurz als geschrieben. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen. Grundsätzlich gibt es Folgen in jeder Menge, für die meisten Eigenschaften, für die man sich im Kontext von Folgen interessiert, braucht man aber eine zusätzliche eine Struktur, mit der man erfassen kann, wie sie in einem angeordneten Körper existiert. Dies gilt insbesondere für den folgenden zentralen Begriff.

Definition

Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei

Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem , gibt es ein

derart, dass für alle

die Beziehung

gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert

Man sollte sich dabei die vorgegebenen als kleine, aber positive Zahlen vorstellen, die jeweils eine gewünschte (oder einen erlaubten Fehler) ausdrücken. Die natürliche Zahl ist dann die die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar so zu erreichen, dass alle ab folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner die Zielgenauigkeit, also je besser die Approximation sein soll, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand.

Statt mit beliebigen positiven Zahlen kann man bei einem archimedisch angeordneten Körper auch mit den also den rationalen Zahlen , arbeiten, siehe Aufgabe 28.35. Zu einem

und

nennt man das Intervall auch die von

Definition

Eine Folge

in einem 

angeordneten Körper, die gegen konvergiert, heißt Nullfolge

Beispiel

Eine

ist stets konvergent mit dem Grenzwert

Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes

als Aufwandszahl

nehmen kann. Es ist ja

für alle

Beispiel

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge

konvergent mit dem Grenzwert

Es sei dazu ein beliebiges

, vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Lemma 25.8) gibt es ein mit

Damit gilt für alle

die Abschätzung

Beispiel

Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern

in Die Anfangsglieder sind

In der Tat ist dies eine Nullfolge. Nach Satz 27.12 gibt es nämlich ein derart, dass

für alle

gilt. Für diese ist somit

Zu einem vorgegebenen

kann man zusätzlich noch

erreichen, daher ist dies kleinergleich

Bemerkung  

Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form

mit

(bzw. mit Ziffern) und mit

Eine solche Folge, also eine muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen starten und den Divisionsalgorithmus

durchführen, um die Ziffern  zu erhalten, so konvergiert nach

Korollar 28.11 die zugehörige Dezimalbruchfolge

gegen die rationale Zahl

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in

Dann besitzt maximal einen Grenzwert.

Beweis

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte , gibt. Dann ist

Wir betrachten

Wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

und wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für

Es sei mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch

$\Box$

Definition

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in Die Folge heißt beschränkt wenn es ein Element

mit

gibt.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in konvergent ist,

so ist sie auch beschränkt.

Beweis

Es sei die konvergente Folge mit dem Limes

und es sei ein

gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass

Dann ist insbesondere

Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für

$\Box$

Beispiel

Es sei ein angeordneter Körper. Dann ist die

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte

vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass

der Grenzwert sei. Dann gilt für positives

und jedes ungerade die Beziehung

so dass es Folgenwerte außerhalb dieser Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Nullfolge und eine beschränkte Folge in

Dann ist auch das Produkt der beiden Folgen eine Nullfolge.

Beweis

Es sei

eine Schranke für und sei

vorgegeben. Da eine Nullfolge ist, gibt es zu ein derart, dass für

die Abschätzung

gilt. Für diese Indizes ist dann auch

$\Box$

Wie bei einer Dezimalbruchfolge, die man ja (mit den Ziffern) als

schreiben kann, wird eine Folge oft als eine Summe in der Form

gegeben. Die Folgenglieder sind also die Teilsummen, die sich aus den einzelnen Summanden ergeben. Solche Folgen nennt man auch und die nennt man die Reihenglieder. Wir betonen, dass sich alle Folgeneigenschaften auf die Folgenglieder beziehen. Man schreibt für solche Reihen auch kurz

Die sogenannte ist nicht beschränkt und konvergiert nicht.

Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe Es geht also um die der Stammbrüche

Diese Reihe divergiert: Für die Zahlen

ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 44.8 nicht konvergent sein.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und es seien

konvergente Folgen in Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Folge ist konvergent und es gilt
2. Die Folge ist konvergent und es gilt
3. Für gilt
4. Es sei und für alle Dann ist ebenfalls konvergent mit
5. Es sei und für alle Dann ist ebenfalls konvergent mit

Beweis

(2). Sei

vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 44.8 insbesondere beschränkt und daher existiert ein

mit

für alle

Sei

Wir setzen

Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen

mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle

Für diese Zahlen gilt daher

(4). Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für

die Bedingung

und damit

Es sei

vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit

Dann gilt für alle

die Abschätzung

$\Box$

Die im vorstehenden Satz auftretenden Folgen nennt man die Summenfolge, die Produktfolge bzw. die Quotientenfolge. Sie sind jeweils gliedweise definiert.

Beispiel

Es sei

Bei einer Folge der Form

mit in einem archimedisch angeordneten Körper und

kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung

Nach Lemma 44.12  (1) konvergiert der Nenner gegen da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei

gegen und bei

gegen Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben

Beispiel

Zu jedem Element

in einem archimedisch angeordneten Körper

gibt es

nach Korollar 28.10 eine eindeutig bestimmte Dezimalbruchfolge, die gegen konvergiert. Zu zwei Elementen und muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe nicht die (gliedweise genommene) Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl gleich

und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl gleich

Die Summe dieser beiden Folgen ist

Dagegen besitzt

die Dezimalbruchfolge

Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und es seien

konvergente Folgen mit

für alle

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe 44.17.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und es seien

drei Folgen in Es gelte

und

konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert

Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert

Beweis

Siehe Aufgabe 44.19.

$\Box$

Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge (sagen wir zur Berechnung von) mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in betrachten, wo existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.

Wir werden in der nächsten Vorlesung die reellen Zahlen mit Hilfe der rationalen Cauchy-Folgen konstruieren.

Definition

Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge

in  heißt Cauchy-Folge wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem , gibt es ein

derart, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Es werden also die Abstände von Folgenglieder untereinander verglichen, diese Schwankungen müssen beliebig klein werden. Grob gesprochen kann man sagen, dass eine Cauchy-Folge alle Eigenschaften einer konvergenten Folge besitzt bis auf die Konvergenz, bis auf die Existenz eines Grenzwertes. Eine nichtkonvergente Cauchy-Folge entdeckt eine Beim Übergang von nach schließt man diese Lücken, indem man (Äquivalenzklassen von) Cauchy-Folgen hinzunimmt.

Satz

Es sei ein angeordneter Körper. Dann ist jede konvergente Folge

eine Cauchy-Folge.

Beweis

Es sei die konvergente Folge mit Grenzwert Sei

gegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf an. Daher gibt es ein mit

Für beliebige

gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung  Also liegt eine Cauchy-Folge vor.

$\Box$

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper. Dann ist eine Folge

genau dann eine

Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung gilt: Zu jedem

gibt es ein

derart, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Beweis

Eine Cauchy-Folge erfüllt auch die angegebene Bedingung, da man ja

setzen kann.
Für die Umkehrung sei

vorgegeben. Die Bedingung der Aussage gilt insbesondere für d.h. es gibt ein derart, dass für jedes

die Abschätzung

gilt. Damit gilt aufgrund der Dreiecksungleichung für beliebige

die Abschätzung

so dass eine Cauchy-Folge vorliegt.

$\Box$

Lemma

Eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper

ist eine Cauchy-Folge.

Beweis

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge

ist

bzw.

Somit gilt für

die Abschätzung

wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.

$\Box$

Dies bedeutet insbesondere, dass jede also jede eine Cauchy-Folge ist.

Lemma

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und

Es sei ein positiver Startwert und die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Heron-Folge ist eine Cauchy-Folge.
2. Wenn es in ein positives Element mit gibt, so konvergiert die Folge gegen dieses Element.
3. Wenn die Folge in gegen ein Element konvergiert, so ist

Beweis

1. Zu ist nach Satz 43.7  (3) und somit ist Diese Intervalllängen bilden nach Satz 43.7  (4) eine Nullfolge.
2. Nach Satz 43.7  (1) ist Somit ist und rechts steht wieder die Nullfolge. Die Aussage folgt daher aus dem Quetschkriterium.
3. Nach Satz 43.7 kann der Grenzwert nicht sein. Nach Lemma 44.12  (5) konvergiert daher gegen und somit konvergiert nach Lemma 44.12  (1) (Betrachten der beiden Seiten) gegen Daraus ergibt sich

$\Box$

Definition

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in Zu jeder streng wachsenden Abbildung , heißt die Folge

eine Teilfolge der Folge.

Bei einer Teilfolge wählt man einfach gewisse Folgenglieder aus und überspringt andere.

Eine Dezimalbruchfolge ist nach Lemma 45.4 eine Cauchy-Folge. Sie ist auch eine wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist. Solche Folgen sind stets Cauchy-Folgen. Insbesondere ergibt sich Lemma 45.4 erneut aus dem folgenden Lemma.

Lemma

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.

Dann ist eine Cauchy-Folge.

Beweis

Es sei

eine obere Schranke, also

für alle Folgenglieder  Wir nehmen an, dass keine Cauchy-Folge ist, und verwenden die Charakterisierung aus Satz 45.3. Somit gibt es ein

derart, dass es für jedes ein

mit

gibt (wir können die Betragstriche wegen der Monotonie weglassen). Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein

mit

Die Summe der ersten Differenzen der Teilfolge , ergibt

  Dies impliziert

im Widerspruch zur Voraussetzung, dass eine obere Schranke der Folge ist.

$\Box$

Lemma

Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper

ist beschränkt.

Beweis

Siehe Aufgabe 45.11.

$\Box$

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper. Es seien und Cauchy-Folgen in

Dann sind auch die Summe und das Produkt der beiden Folgen wieder eine Cauchy-Folge.

Beweis

Zum Beweis der Summeneigenschaft sei

vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen

mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für

Für diese Indizes gilt somit

Zum Beweis der Produkteigenschaft sei

vorgegeben. Die beiden Cauchy-Folgen sind nach Lemma 45.8 insbesondere beschränkt und daher existiert ein

mit

für alle

Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es natürliche Zahlen

mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für

Für diese Indizes gilt daher

$\Box$

Wenn eine Folge in konvergiert, so ist der Grenzwert oder positiv oder negativ. Wenn der Grenzwert positiv ist, so können zwar am Anfang der Folge auch negative Folgeglieder auftreten, ab einem bestimmten müssen aber alle Folgenglieder positiv sein, und zwar mindestens so groß wie die Hälfte des Grenzwertes. Eine entsprechende Einteilung gilt auch für Cauchy-Folgen, wie das folgende Lemma zeigt, das grundlegend für die (später einzuführende) Ordnung auf den reellen Zahlen ist.

Lemma

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Cauchy-Folge in Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.

1. Die Folge ist eine Nullfolge.
2. Es gibt eine positive Zahl derart, dass ab einem gewissen die Abschätzung für alle gilt.
3. Es gibt eine positive Zahl derart, dass ab einem gewissen die Abschätzung für alle gilt.

Beweis

Es sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein

derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit

gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit

oder mit

Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für gibt es ein derart, dass

für alle

gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für

und einem mit

unter Verwendung von Lemma 24.7  (8) die Abschätzung

Dieses wählen wir als

$\Box$

Lemma

Es sei eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein

und ein derart gibt, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Dann ist auch die durch (für hinreichend groß)

gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.

Beweis

Sei

vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von gibt es ein mit

für alle

Dann gilt für alle

die Abschätzung

$\Box$

Definition

Ein angeordneter Körper

heißt vollständig oder vollständig angeordnet wenn jede

Cauchy-Folge in konvergiert (also in einen Grenzwert besitzt).

Axiom

Die reellen Zahlen sind ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.

Damit haben wir alle Axiome der reellen Zahlen zusammengetragen: die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Alle weiteren Eigenschaften werden wir daraus ableiten. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle und gibt, die beide für sich genommen diese Axiome erfüllen, so kann man eine bijektive Abbildung von nach angeben, die alle mathematischen Strukturen erhält (sowas nennt man einen , siehe Satz 47.1).

Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man die Vorstellung einer zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in mit einer geeigneten Identifizierung. Dies werden wir in der nächsten Vorlesung durchführen.